Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

 

Briefly Solutions 

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

प्रश्न 1.

सिद्ध कीजिए कि `\sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि `\sqrt5` एक परिमेय संख्या है। अतः हम a और b दो सह –

अभाज्य पूर्णांक ऐसे लेते हैं कि `\sqrt5` = `\frac{a}{b}` जहाँ b ≠ 0

⇒ b `\sqrt5` = a ⇒ 5b² = a² (दोनों ओर वर्ग करने पर)

अत: a²,5 से विभाज्य है अर्थात् a, 5 से विभाज्य है।

अतः हम a = 5c ले सकते हैं, जहाँ c एक पूर्णांक हैं।

⇒ 5b² = (5c)² = 25c² ⇒ b² = 5c²

अत: b² ),5 से विभाज्य है अर्थात् b भी 5 से विभाज्य है। इसलिए a और b में कम-से-कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 5 है।

लेकिन यह इस तथ्य से विरोधाभासी है कि a और b दो सह अभाज्य पूर्णांक हैं। यह विरोधाभास त्रुटि पूर्ण कल्पना के कारण हुआ।

अतः इससे निष्कर्ष निकलता है कि`\sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है। 

     इति सिद्धम् (Hance probed)

प्रश्न 2.

सिद्ध कीजिए कि 3 + 2 `\sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि 3 + 2 `\sqrt5` एक परिमेय संख्या है।

अतः हम ऐसी दो सह अभाज्य पूर्णांक संख्याएँ a और b (b + 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 3 + 2`\sqrt5` = `\frac{a}{b}`

⇒ 2 `\sqrt5` = `\frac{a}{b}` – 3 ⇒ `\sqrt5` = `\frac{a}{2}`-`\frac{3}{2}`

चूँकि a और b दो पूर्णांक हैं, जहाँ b ≠ 0 

अतः `\frac{a}{2b}` – 32 एक परिमेय संख्या होगी और इसलिए `\sqrt5`भी एक परिमेय संख्या होगी लेकिन यह इस तथ्य के विरोधाभासी है कि `\sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास त्रुटि पूर्ण कल्पना के कारण हुआ।

अतः, इससे निष्कर्ष निकलता है कि 3 + 2 `\sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।

 इति सिद्धम्

प्रश्न 3.

सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:

(i) `\frac{1}{sqrt2}`

(ii) 7 `\sqrt5`

(iii) 6 + `\sqrt2`

हल:

(i) हम इसके विपरीत यह मान लें कि `\frac{1}{sqrt2}` एक परिमेय संख्या है।

अर्थात् हम ऐसी सह अभाज्य अशून्य पूर्णांक संख्याएँ a और b ज्ञात कर सकते हैं कि `\frac{1}{sqrt2}` = `\frac{a}{b}`

⇒ `\sqrt2` = `\frac{b}{a}`, जहाँ a और b पूर्णांक हैं

इसलिए `\frac{b}{a}` एक परिमेय संख्या है और इसलिए `\sqrt2` भी एक परिमेय संख्या होगी।

लेकिन इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि `\sqrt2`  एक अपरिमेय संख्या है।

अतः, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि `\frac{1}{sqrt2}` एक अपरिमेय संख्या है। 

                इति सिद्धम्  (Hance probed)

(ii) इसके विपरीत हम यह मान लें कि 7`\sqrt5` एक परिमेय संख्या है।

अर्थात् हम ऐसी सह अभाज्य पूर्णांक संख्याएँ और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि

7`\sqrt5` = `\frac{a}{b}`

⇒ `\sqrt5` = `\frac{a}{7b}`

चूँकि 7,a एवं b पूर्णांक हैं। इसलिए `\frac{a}{7b}` एक परिमेय संख्या होगी और इसलिए `\sqrt5`  भी एक परिमेय संख्या होगी।

लेकिन इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि `\sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है।

अतः, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 7`\sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।       

           इति सिद्धम्  (Hance probed)

(iii) इसके विपरीत हम यह मान लेते हैं कि 6 + `\sqrt2` एक परिमेय संख्या है।

अर्थात् हम सहअभाज्य ऐसी पूर्णांक संख्याएँ a और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि

6 + `\sqrt2` = `\frac{a}{b}`

⇒ `\sqrt2` = `\frac{a}{b}` – 6

यहाँ a, b एवं 6 पूर्णांक हैं इसलिए `\frac{a}{b}` – 6 एक परिमेय संख्या है और इसलिए `\sqrt2` भी एक परिमेय संख्या है।

इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि `\sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है।

अतः, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 6 + `\sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है।  

           इति सिद्धम्. (Hance probed)

                                                                                                                                       

Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4