10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3
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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 2.3
प्रश्न 1.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p (x) को g (x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = `\x^3-3x^2+5x-3` , g(x) = `\x^2-2`
(ii) p(x) = `\x^4-3x^2+4x+5` , g(x) = `\x^2+1-x`
(iii) p(x) = `\x^4-5x+6` , g(x) = `\2-x^2`
हल:
(i) p(x) = `\x^3-3x^2+5x-3` , g(x) = `\x^2-2`
चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद `\x^3` को भाजक के उच्चतम घात वाले पद `\x^2` से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है, वह `\3x^2+7x-3` है।
चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद `\-3x^2` को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x2 से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए।
चरण 3 : अब शेष बचे 7x – 9 की घात भाजक `\x^2 – 2` की घात से कम है। इसलिए हम भाग की क्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = x – 3 एवं शेषफल = 7x – 9 है।
(ii) p(x) = `\x^4-3x^2+4x+5` , g(x) = `\x^2+1-x`
यहाँ भाज्य तो भाजक रूप में है, लेकिन भाजक g (x) = `\x^2 + 1 – x` मानक रूप में नहीं है अत: मानक रूप में व्यवस्थित करने पर भाजक g (x) = `\x^2 – x + 1` प्राप्त होगा।
चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य की उच्चत्तम घात वाले पद `\x^4` को भाजक के उच्चत्तम घात वाले पद `\x^2` से भाग दीजिए यह `\x^2` आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है वह `\x^3 – 4x^2 + 4x + 5` है ।
चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद `\x^3` को भाजक के उच्चतम घात वाले पद `\x^2` से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए जो शेष बचता है वह `\– 3x^2 + 3x + 5` है।
चरण 3 : अब भागफल का तीसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद `\-3x^2` को भाजक के उच्चतम घात वाले पद `\x^2` से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है वह 8 है।
चरण 4: अब शेष बचे 8 की घात भाजक `\x^2 – x + 1` की घात से कम है। इसलिए हम भाग की प्रक्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = `\x^2 + x – 3` एवं शेषफल = 8 है।
(iii) p(x) = `\x^4-5x+6` , g(x) = `\2-x^2`
चरण 3 : अब शेष बचे – 5x + 10 की घात भाजक `\– x^2 + 2` से कम है। इसलिए हम भाग की प्रक्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = `\-x^2 – 2` एवं शेषफल = -5x + 10 है।
प्रश्न 2. पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है :
(i) `\t^2 – 3`, `\2t^4 + 3t^3 – 2t^2 – 9t – 12`
(ii) `\x^2 + 3x + 1`, `\3x^4 + 5x^3 – 7x^2 + 2x + 2`
(iii) `\x^3 – 3x + 1`, `\x^5 – 4x^3 + x^2 + 3x + 1`
हल:
(i) `\t^2 – 3`, `\2t^4 + 3t^3 – 2t^2 – 9t – 12`
(ii) `\x^2 + 3x + 1`, `\3x^4 + 5x^3 – 7x^2 + 2x + 2`
चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
(iii) `\x^3 – 3x + 1`, `\x^5 – 4x^3 + x^2 + 3x + 1`
यहाँ शेषफल 2 आया है, शून्य नहीं।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद, द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।
प्रश्न 3.`\3x^4 + 6x^3 – 2x^2 – 10x – 5` के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक `\sqrt{\frac{5}{3}}`
और – `\sqrt{\frac{5}{3}}` हैं।
हल:
चूँकि `\sqrt{\frac{5}{3}}` एवं –`\sqrt{\frac{5}{3}}` दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं, इसलिए `\(x – \sqrt{\frac{5}{3}})*(x + \sqrt{\frac{5}{3}})` अर्धात `\(x^2 – \frac{5}{3})` दिए गए बहुपद का एक गुणक होगा। अब विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग दिए गए बहुपद एवं `\(x^2 – \frac{5}{3})` के लिए करते हैं :
इसलिए `\3x^4 + 6x^3 – 2x^2 – 10x – 5` = `\(x^2 – \frac{5}{3}) * (\3x^2 + 6x + 3)`
अब `\3x^2 + 6x + 3` के गुणनखण्ड `\3 (x + 1)^2` प्राप्त होते हैं इसलिए इसके शून्यक x = -1 एवं x = -1 होंगे।
अतः, दिए बहुपद के अन्य शून्यक -1 और -1 है।
प्रश्न 4. यदि `\x^3 – 3x^2 + x + 2` को एक बहुपदg (x) से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 हैं, तो g (x) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर हम पाते हैं:
g (x).(x – 2) + (-2x + 4) = `\x^3 – 3x^2 + x + 2`
g(x).(x-2) = `\(x^3 – 3x^2 + x + 2)` -(-2x+4)
g(x) = `\frac{\x^3-3x^2+3x-2}{x-2}`
अतः,g (x) का अभीष्ट मान `\x^2 – x + 1` हैं।
प्रश्न 5. बहुपदों p (x), g (x), q (x) और r (x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p (x) = घात q(x)
(ii) घात q (x) = घात r (x)
(ii) घात r (x) = 0
हल:
(i) p (x) = `\4x^2 – 4x + 28`,
g (x) = 4,
q(x) = `\x^2 – x + 7`
एवं r (x) = 0
(ii) p (x) =`\ 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2` ,
g (x) = `2x^2 –2`,
(iii) p(x) = `\3x^4 + 5x^3 – 7x^2 + 2x + 2`
g(x) = `\x^3 – 3x + 1`
एवं r (x) = 2
Note :- तीनों प्रश्नों (i), (ii) एवं (iii) के अनेक उदाहरण हो सकते हैं।
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