NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex. 3.1

पाठ -3 

चतुर्भुजों को समझना

 प्रश्नावली 3.1

1. यहां पर कुछ आकृतियां दी गई है।

प्रत्येक का वर्गीकरण निम्नलिखित आधार पर कीजिए।

(a) साधारण वक्र

उत्तर:(a) साधारण वक्र है-

(b) साधारण बंद वक्र

उत्तर: (b) साधारण बंद वक्र है-

(c) बहुभुज

उत्तर: (c)बहुभुज है-

(d) उत्तल बहुभुज

उत्तर:(d) उत्तल बहुभुज है-

(e) अवतल बहुभुज

उत्तर: (e)अवतल बहुभुज है-

2. निम्नलिखित प्रत्येक में कितने विकर्ण है?

(a) एक उत्तल चतुर्भुज

उत्तर:

n - भुजाओं के बहुभुज में विकर्णों की संख्या

 =[`\frac{n(n−1)} 2`−n]

एक उत्तल चतुर्भुज में भुजाओं की संख्या (n)=4 विकर्णों की संख्या =`\frac{n(n−1)} 2`−n

=`\frac{4(4−1)} 2`−4

=`\frac(4×3) 2`−4

=`\frac(12) 2`−4

=6−4

=2

(b) एक समषड्भुज 

उत्तर: एक समषड्भुज में भिजाओं की संख्या (n)=6

विकर्णों की संख्या 

=[`\frac{n(n−1)} 2`−n]

=[`\frac{6(6−1)} 2`−6]

=`\frac(6×5) 2`−6

=15−6

=9

(c) एक त्रिभुज

उत्तर: एक त्रिभुज में भुजाओं की संख्या (n)=3

विकर्णों की संख्या 

=[`\frac{n(n−1)} 2`−n]

=[`\frac{3(3−1)} 2`−3]

=`\frac(3×2) 2`−3

=3-3

=0

3. उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों का योगफल क्या है? यदि चतुर्भुज उत्तल न हो तो क्या ये गुण लागू होगा ? (एक चतुर्भुज बनाइए जो उत्तल ना हो और प्रयास कीजिए ।)

उत्तर:

माना उपर्युक्त दो आकृतियों है

पहली आकृति से जिसमे माना ABCD एक चतुर्भुज है

चतुर्भुज के चारो कोणों का योग =∠A+∠B+∠C+∠D

(चुकि ∠A=∠1+∠6….....)

तथा इसी प्रकार सारे मान रखने पर

=∠1+∠6+∠5+∠3+∠4+∠2

=(∠1+∠2+∠3)+(∠4+∠5+∠6)

=180∘+180∘ 

(चुकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180∘ होता है) 

=360∘

इस प्रकार उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों का योगफल =360∘

दूसरी आकृति से जो उत्तल चतुर्भुज नही है ABC में ∠1+∠2+∠3=180∘….. (i)

BCD में ∠4+∠5+∠6=180∘……. (ii)

समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180∘+180∘=360∘

यदि चतुर्भुज उत्तल न हो तो कोणों का योग वही रहता है।

4. तालिका की जांच कीजिए (प्रत्येक आकृति को त्रिभुजों में बांटिए और कोणों का योगफल ज्ञात कीजिए।)

एक बहुभुज के कोणों के योग के बारे में आप क्या कह सकते हैं, जिसकी भुजाओं की संख्या निम्नलिखित हो।

(a) 7

उत्तर: चुकि बहुभुज के कोणों का योग=(n-2) 180∘

जब n=7;

=(7−2)×180∘

=5×180∘

=900∘

(b) 8

उत्तर: चुकि बहुभुज के कोणों का योग =(n−2)×180∘

जब n=8;

=(8−2)×180∘

=6×180∘

=1080∘

(c) 10

उत्तर: चुकि बहुभुज के कोणों का योग =(n−2)×180∘

जब n=10;

= (10-2) × 180∘

=8×180∘

=1440∘

5. एक सम बहुभुज क्या है? 

उत्तर: समभुज एक ऐसा बहुभुज है जिसमें सभी भुजाएं तथा सभी कोण समान होते है।

एक सम बहु भुज का नाम बताइए जिसमें 

(i ) 3 भुजाएं 

उत्तर: त्रिभुज

(ii) 4 भुजाएं

उत्तर: चतुर्भुज

(iii) 6 भुजाएं

उत्तर: षड्भुज

6. निम्नलिखित आकृतियों में x (कोण ज्ञात कीजिए)

(a)

उत्तर: 130+120+50+x=360

अत: 300+x=360

x = 360-300

x = 60

(b)

उत्तर: 60∘+70∘+90∘+x=360

अत: 220∘+x=360∘

x=360∘−220∘

x=140∘

(c)

उत्तर: आतंरिक कोण 

180∘−60∘=120∘

180∘−70∘=110∘

बहुभुज में 5 भुजाएं है, इसलिए बहुभुज के कोणों का योग=540° अत: पांचो अन्त कोणों का योग

120∘+110∘+30∘+x+x=540∘

260∘+2x=540∘

2x=280∘

x=140

(d)

उत्तर: बहुभुज में 5 भुजाएं है, 

इसलिए हम जानते हैं कि 

बहुभुज के कोणों का योग = (n-2) × 180°

चुंकि, n = 5 

बहुभुज के कोणों का योग = (n-2) × 180°

                                   = (5-2) × 180°

                                   = 3 × 180°

                                   = 540°

अतः

x+x+x+x+x = 540∘

5x=540∘

x=108∘

7.

(a) x +y +z ज्ञात कीजिए।

उत्तर: रैखिक युग्म के कोणों का योग

90∘+x=180∘

x=180∘−90∘

x=90∘

इसी प्रकार,

30∘+Z=180∘

Z=180∘−30∘

Z=150∘

y का मान बाह्य कोण के गुणधर्म से

y=90∘+30∘

y= 120∘

 अत: x+y+z=90∘+120∘+150∘

=360∘

(b) x+ y +w+ z ज्ञात कीजिए?

उत्तर: चतुर्भुज के चारो कोण का योग

60∘+80∘+120∘+n=360∘

260∘+n=360∘

n=360∘−260∘

n=100∘

अब

रैखिक युग्म के कोणों का योग

120∘+x=180∘

x=180∘−120∘

x=60∘

इसी प्रकार,

100∘+W=180∘

W=180∘−100∘

W=80∘

तथा

60∘+Z=180∘

Z=180∘−60∘

Z=120∘

तथा

80∘+y=180∘

y=180∘−80∘

y=100∘

x+y+w+z=60∘+100∘+120∘+80∘=360∘