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Briefly solutions   MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 2.3 प्रश्न 1. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p (x) को g (x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए : (i) p(x) = `\x^3-3x^2+5x-3` , g(x) = `\x^2-2`  (ii) p(x) = `\x^4-3x^2+4x+5` , g(x) = `\x^2+1-x` (iii) p(x) = `\x^4-5x+6` , g(x) = `\2-x^2` हल: (i) p(x) = `\x^3-3x^2+5x-3` , g(x) = `\x^2-2`  चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद `\x^3` को भाजक के उच्चतम घात वाले पद `\x^2` से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है, वह `\3x^2+7x-3`  है। चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद `\-3x^2` को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x2 से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। चरण 3 : अब शेष बचे 7x – 9 की घात भाजक `\x^2 – 2` की घात से कम है। इसलिए हम भाग की क्रिया को और नहीं कर सकते। अतः, अभीष्ट भागफल = x – 3 एवं शेषफल = 7x – 9 है। (ii) p(x) = `\x^4-3x^2+4x+5` , g(x) ...

Briefly solutions   MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 2.2 MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2  प्रश्न 1. निम्न द्विघात व्यंजकों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की जाँच कीजिए: (i) x 2  – 2x – 8  (ii) 4s 2  – 4s + 1 (iii) 6x 2  – 3 – 7x (iv) 4u 2  + 8u (v) t 2  – 15 (vi) 3x 2  – x – 4 (i) x 2  – 2x – 8  अथवा  x + 2 = 0 अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

  Briefly Solutions  MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2  बहुपद  Ex 2.1 प्रश्न 1. किसी बहुपद p (x) के लिए y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति में दिया है। प्रत्येक स्थिति में p (x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए। प्रश्न 1. किसी बहुपद p (x) के लिए y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति में दिया है। प्रत्येक स्थिति में p (x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए। आकृति : 2.1 हल: कोई शून्यक नहीं एक शून्यक तीन शून्यक दो शून्यक चार शून्यक तीन शून्यक

 MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Examples Example :- 1 Example :- 2 and 3 Example :- 4 and 5 Example :- 6 and 7 Example :- 8 and 9  Example :- 10 and 11

  Briefly solutions   MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4 प्रश्न 1. बिना लम्बी विभाजन क्रिया किर बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैं : (i)`\frac{13}{3125}` (ii)`\frac{17}{8}` (iii) `\frac{64}{455}` (iv)`\frac{15}{1600}`  (v)`\frac{29}{343}`  (vi)`\frac{23}{2³5²}` (vii)`\frac{129}{2²5⁷7⁵}`(viii)`\frac{6}{15}` (ix)`\frac{35}{50}` (x) `\frac{77}{210}` हल: (i) `\frac{13}{3125}` = `\frac{13}{5^2}` चूँकि हर में केवल 5 की घात है। अतः, दशमलव प्रसार सांत है। (ii) `\frac{17}{8}` = `\frac{17}{2^3}` चूँकि हर में केवल 2 की घात है। अतः, दशमलव प्रसार सांत है। (iii) `\frac{64}{455}` =   `\frac{64}{5^1×7^1×13^1}` चूँकि हर में 5 के अतिरिक्त 7 एवं 13 की घात हैं। अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है। (iv) `\frac{15}{1600}` = `\frac{15}{2^6*5^2}` =`\frac{3}{2^6\times5^1}` चूँकि हर में केवल 2 एवं 5 की घातें हैं। अतः, दशमलव प्रसार सांत है। (v) `\frac{29}{343}` = `\frac{29}{7^3}` चूँकि हर में 7 क...

  Briefly Solutions   MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि `\sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है। हल: हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि `\sqrt5` एक परिमेय संख्या है। अतः हम a और b दो सह – अभाज्य पूर्णांक ऐसे लेते हैं कि `\sqrt5` = `\frac{a}{b}` जहाँ b ≠ 0 ⇒ b `\sqrt5` = a ⇒ 5b² = a² (दोनों ओर वर्ग करने पर) अत: a²,5 से विभाज्य है अर्थात् a, 5 से विभाज्य है। अतः हम a = 5c ले सकते हैं, जहाँ c एक पूर्णांक हैं। ⇒ 5b² = (5c)² = 25c² ⇒ b² = 5c² अत: b² ),5 से विभाज्य है अर्थात् b भी 5 से विभाज्य है। इसलिए a और b में कम-से-कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 5 है। लेकिन यह इस तथ्य से विरोधाभासी है कि a और b दो सह अभाज्य पूर्णांक हैं। यह विरोधाभास त्रुटि पूर्ण कल्पना के कारण हुआ। अतः इससे निष्कर्ष निकलता है कि`\sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।        इति सिद्धम् (Hance probed)

  Briefly Solutions   MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2 प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए : (I) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429 हल : (I) 140 = 2 × 2 × 5 × 7              = 2² × 5¹ × 7¹  ans. (II) 156 = 2 × 2 × 3 × 13                = 2² × 3¹ × 13¹ ans. (III) 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17                    = 3² × 5² × 17¹ ans. (IV) 5005 = 5 × 7 × 11 × 13                    = 5¹ × 7¹ × 11¹ × 13¹ ans. (V) 7429 = 17 × 19 × 23                  = 17¹ × 19¹ × 23¹ ans. प्रश्न 2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है : (i) 26 और 91   (ii)510 और 92   (iii) 336 और 54 हल: (i) 26 = 2 ×...

  Briefly Solutions  MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1 प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए : (i) 135 और 225 (ii) 196 और 38220 (iii) 867 और 255 हल : (i) चरण – 1 : यहाँ 225 > 135 है, इसलिए हम 225 और 135 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं : 225 = 135 × 1 + 90 चरण – 2 : चूँकि शेषफल 90 + 0 है, इसलिए हम 135 और 90 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं : 135 = 90 × 1 + 45 चरण – 3 : चूँकि शेषफल 45 + 0 है, इसलिए हम नए भाजक 90 एवं नए शेषफल 45 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं : 90 = 45 × 2 + 0 चूँकि यहाँ शेषफल 0 (शून्य) आया है और नया भाजक 45 है।  अत: अभीष्ट HCF (135, 225) = 45 ------------------------------------------------------------------------------------- (ii) चरण – 1 : यहाँ 38220 > 196 है, इसलिए हम 38220 और 196 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं : 38220 = 196 × 195 + 0 चूँकि यहाँ शेषफल 0 (...

 MP Board Class 10th Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1 Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2 Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4 Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions

  MP Board Class 10th Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1 Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2 Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4 Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions examples MP Board Class 10th Maths Chapter 2 बहुपद Chapter 2 बहुपद Ex 2.1 Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Chapter 2 बहुपद Additional Questions MP Board Class 10th Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1 Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3 Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4 Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5 Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6 Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7 Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions MP Board Class 10th Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1 Chapter 4 द्वि...